Movimento Uniformemente Variado

Relação Bibliográfica:

     Segundo FERRARO N. G. e SOARES P. A. T. chama-se o movimento uniformemente variado (MUV) o movimento em que a velocidade varia uniformemente no decorrer do tempo, isto é, aquele em que ocorrem variações de velocidade sempre iguais em intervalos de tempos iguais.

     Em consequência, a aceleração instantânea do movimento é constante. A aceleração média é, portanto, igual à aceleração em qualquer instante. 

     Define-se a aceleração média de um móvel pela equação 1:

onde ∆v = v1 – v0 é a variação da velocidade sofrida pelo móvel, e ∆t = t1 - t0 é o intervalo de tempo em que se essa se realizou.

Função da velocidade no MUV

     Pode-se obter a função da velocidade aplicando o conceito da aceleração média. Sendo assim, teremos a equação 2:

Nessa função, a velocidade inicial v0 e a aceleração α  são constantes para cada movimento.

Gráfico da velocidade no MUV

     A função da velocidade em relação ao tempo no MUV é de primeiro grau, logo, é representada por uma reta de inclinação não nula.

(Fonte: http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-uniformemente-variado.htm).

A área da figura compreendida entre a reta e o eixo dos tempos é a medida numérica do módulo da variação de espaço ∆s sofrida pelo móvel.

Função horária do MUV

     À medida que um móvel descreve um MUV, sua posição varia sobre a trajetória. No instante  t0 = 0, o móvel ocupa uma posição dada pelo espaço inicial s0 ; num instante posterior t, a posição do móvel corresponde ao espaço s.

     Então, a variação do espaço ∆s, sofrida pelo móvel, pode ser calculada através da área (A) no gráfico da velocidade em função do tempo.

Sabendo que ∆s = s - s0, então:  v = v0 + α.t

Logo, têm-se a equação 3:

A função horária do movimento uniformemente variado é de segundo grau. O espaço inicial s0, a velocidade v0 e a aceleração α são constantes para cada movimento.

Gráfico da função horária do MUV

     Sendo de segundo grau a função horária do MUV, o gráfico do espaço s em função do tempo t é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal da aceleração:

(Fonte: http://educar.sc.usp.br/fisica/muvteo.html).

O vértice da parábola corresponde ao instante em que a velocidade do móvel se anula, isto é, o instante em que o móvel muda de sentido. Até o instante de mudança de sentido o movimento é retardado; após o instante de mudança o movimento é acelerado.

Gráfico da aceleração no MUV

     No MUV, a aceleração é constante e diferente de zero, sendo assim, a aceleração é

representada em função do tempo por um gráfico onde a reta da aceleração é paralela ao eixo dos tempos.

A área da região compreendida entre a reta representativa e o eixo dos tempos mede, numericamente, o módulo da variação de velocidade ∆v do móvel no intervalo de tempo considerado.

Equação de Torricelli no MUV

     Seja s0 o espaço inicial e v0 a velocidade inicial de um móvel em MUV, num instante posterior ao t, o espaço é s e a velocidade v.

     Se tivermos o valor da velocidade v (equação 2), para obter o valor do espaço s (equação 3), pode-se determinar o valor de t na expressão da equação 3:

Temos: 

Substituindo a variável t: 

Equação de Torricelli:

Onde  s - s0 =  ∆s é a variável de espaço do móvel.

Metodologia:

Materiais Utilizados:
- Esfera de isopor;
- Rampa inclinada;
- Arduíno UNO;
- Sensor ultrassônico

     Foi elaborado um experimento verificando o movimento uniformemente variado com a utilização de uma esfera de isopor, uma rampa inclinada com angulação de 10˚ e o sistema de aquisição de dados Arduíno com um sensor ultrassônico conectado que serviu para medir a posição da esfera no decorrer do tempo. O experimento foi preparado conforme a figura 1:

Figura 1 - Foto do arranjo experimental, evidenciando a esfera na rampa à ser percorrida e o sensor ultrassônico que realiza a medição da posição da esfera.

Dados Obtidos:

     Após a realização do experimento foi possível obter-se um gráfico da posição da esfera em função do tempo (gráfico 1) a partir da medição do sensor ultrassônico.  Observa-se que a função quadrática está de acordo com a função horária dos espaços para o MUV. A partir dessa equação foi possível chegar à função horária da velocidade (v = 0,0367+1,1644t). O gráfico 2 mostra a velocidade em função do tempo, ou seja, a velocidade aumenta constantemente em função do tempo, evidenciando uma aceleração constante positiva.

Gráfico 1 - Posição em função do tempo no decorrer da trajetória.

Gráfico 2 - Velocidade em função do tempo.

Conclusões:
     Utilizando-se um sensor ultrassônico com o Arduíno é possível realizar experimentos com o MUV a partir de uma esfera rolando sobre um plano inclinado. Como pode ser observado nos gráfico 1 e 2 a qualidade dos dados obtidos é muito boa, restando concluir que didaticamente o sistema Arduíno pode ser utilizado pelas escolas e universidades para favorecer o aprendizado de Física.

Bibliografia:
DESCONVERSA; Física – MRUV. Disponível em: http://www.desconversa.com.br/fisica/relembrando-mu-e-muv/
DESCONVERSA; Física – MUV Gráficos. Disponível em: http://www.desconversa.com.br/fisica/muv-graficos/
MARQUES, D. Equipe Brasil Escola; Movimento Uniformemente Variado. Disponível em: http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-uniformemente-variado.htm
CAVALCANTE, K. Equipe Brasil Escola; Gráfico do movimento uniformemente variado. Disponível em: http://www.brasilescola.com/fisica/graficos-movimento-uniformemente-variado.htm
EDUCAR; Conceito de Movimento Uniformemente Variado. Disponível em: http://educar.sc.usp.br/fisica/muvteo.html

Movimento Harmônico Simples Amortecido

Objetivos:          
          Verificar o comportamento de um pêndulo simples em movimento harmônico simples amortecido com aquisição de dados utilizando sensor ultrassônico acoplado em placa Arduíno.

Revisão Bibliográfica:

Movimento Harmônico Simples

Segundo Newton, Helou e Gualter, 1993, um movimento é periódico quando a posição, a velocidade e a aceleração do móvel repetem-se em iguais intervalos de tempo. O intervalo de tempo necessário para ocorrer uma repetição do movimento é denominado período do movimento, que se simboliza por t. Assim, se ocorrerem n repetições do movimento num intervalo de tempo ∆t, seu período será conforme a equação 1:

            O período pode ser medido em qualquer unidade de tempo. No SI, sua unidade é o segundo (símbolo: s).

             Denomina-se frequência (f) de um movimento periódico o número de vezes que esse movimento repete-se na unidade de tempo. Assim, ocorrendo n repetições do movimento no intervalo de tempo ∆t, sua frequência denomina-se pela equação 2:

   

                Comparando as equações 1 e 2, temos:

     

            A unidade de frequência, no SI, é o hertz (Hz). A frequência de 1 Hz significa que o movimento repete-se uma vez por segundo.

          Um movimento é oscilatório quando ocorre com alternâncias de sentido, porém na mesma trajetória para os dois sentidos. É o caso, por exemplo, do movimento do pêndulo de um relógio de parede.

       Certos movimentos oscilatórios e periódicos, descritos por funções horárias harmônicas, são denominados movimentos harmônicos simples (MHS). O estudo desses movimentos simplifica-se ao partirmos do movimento circular uniforme (MCU). Para isso, consideremos uma partícula em movimento circular uniforme numa circunferência de raio A.

            Faz-se a projeção do MCU sobre o eixo Ox, que é paralelo ao diâmetro P – P’ e está contido no plano da circunferência, conforme a figura 1:

Figura 1 – Imagem da projeção do movimento circular uniforme.

(Retirado de: http://pt.scribd.com/doc/121334679/MHS) 

                Com isso, observamos que enquanto a partícula em MCU desloca-se do ponto P até o ponto P’, sua projeção se desloca do ponto da abscissa X = A, até o ponto de abscissa X = - A, e enquanto a partícula em MCU desloca-se de P’ até P, a projeção desloca-se de X = - A até X = A.

            Observa-se que esse movimento retilíneo da projeção é periódico e oscilatório. Além disso, o período do movimento da projeção é igual ao período do movimento circular uniforme. O movimento da projeção do MCU sobre o eixo Ox é um movimento harmônico simples MHS. 

              No MHS, a abscissa (espaço) X é medida a partir do ponto médio da trajetória e denomina-se elongação. Observa-se, então, que no ponto médio da trajetória temos X = 0 (elongação nula) e nos pontos extremos da trajetória temos X = - A (elongação mínima) e X = A (elongação máxima). A grandeza A, que corresponde ao raio da circunferência e é também a elongação máxima do MHS, denomina-se amplitude do MHS.

Movimento Harmônico Simples Amortecido

De acordo com Halliday e Resnick, 2009, quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa dizemos que o oscilador e seu movimento são amortecidos. A constante de amortecimento depende das características, tanto do pêndulo quanto do meio em que se encontra oscilando.        
        Podemos considerar uma função cosseno cuja amplitude diminui gradualmente com o tempo, conforme a figura (2). Para um oscilador amortecido sua energia mecânica não é constante e diminui com o tempo, assim como a amplitude que diminui exponencialmente, vindo o movimento, eventualmente, a cessar. Dizemos, então, que há um amortecimento da oscilação.

Figura 2 - Função deslocamento x(t) do oscilador amortecido. A amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

Metodologia e dados obtidos:

Materiais Utilizados:
- 1 suporte para o pêndulo
- 1 esfera
- 1 sensor ultrassônico (modelo HC-SR04)
- 1 placa arduíno UNO

           Foi elaborado um experimento para estudar o movimento harmônico simples amortecido, no qual, um movimento oscilatório e periódico ocorre demonstrando que em uma determinada trajetória, o corpo oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio. Para isso foi utilizado, como base para a experiência, um pêndulo, constituído por um fio de nylon e uma esfera de isopor, preso a um suporte. o O comprimento do pêndulo utilizado foi de 47 cm (figura 3). A esfera do pêndulo foi preparada em uma posição X (ponto mais extremo) e solta. O sensor foi, então, ativado para captar o movimento da esfera, via placa Arduíno. O Arduíno foi programado conforme o código da sequência, demonstrado na figura 4. Esse fez as leituras que foram copiadas e coladas na planilha eletrônica Microsoft Excel e nesse foi elaborado um gráfico de dispersão mostrando a relação entre o tempo e a posição em que o pêndulo se encontrava (figura 5).

Figura 3 – Esquema do pêndulo.

                

               Conforme a Lei de Hooke, podemos calcular a frequência (f), em que t = 1/f onde t é o período de tempo do movimento do pêndulo, apresentada na equação 4:

    

                                                                      

               Sabendo que a frequência é igual a (ω= 2 π), então tem-se a equação 5:

           

            Observa-se que o comprimento é a variável da equação, porque o período e a gravidade são constantes. Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isocronômetro, isto é, o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento.

Figura 4 – Código da sequência do Arduíno UNO utilizado no experimento.

           Através da equação 5 sabe-se que o período do pêndulo estudado é de 1,36s.
         Como mostra a figura 5, o movimento é considerado amortecido, pois a amplitude da onda diminui constantemente com o tempo. Verifica-se também, graficamente, que o período é constante, ou seja, apesar da amplitude ir diminuindo constantemente com o tempo, o período de cada oscilação mantém-se constante, em média.

          O gráfico da figura 5 mostra apenas uma pequena fração de tempo do experimento todo. É o período de tempo em que a medição estava estabilizada, pois o sistema instabiliza-se facilmente, fazendo leituras imprecisas. Essa é uma dificuldade na utilização do sistema Arduíno. No entanto, para esse período, a leitura foi muito boa, conforme pode-se verificar na figura 5.

Figura 5 – Gráfico de dispersão da relação entre a posição do pêndulo com o tempo.

            

            Conclusões:

Verificou-se, através do experimento, que as forças de atrito (arrasto do ar) diminuíram constantemente a amplitude do movimento, reduzindo-a a zero após certo tempo. Conclui-se também que, a utilização do sensor ultrassônico e o sistema Arduíno cumpriram satisfatoriamente a função de coleta de dados para fins didáticos. Neste experimento foi possível, verificar claramente o comportamento de um pêndulo amortecido. 

Referências:
BÔAS, N. V.; DOCA, R. H. e BISCUOLA, G. J. Tópicos de Física 2 – Termologia, Ondas e Óptica. Ed.10 – Editora Saraiva, 1993.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R. e WALKER, J. Fundamentos da Física - Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Ed. 8. Vol.2 - Rio de Janeiro: LTC, 2009.

Lei de Resfriamento de Newton

Objetivos:         
          Realizar a leitura de verificação da variação da temperatura segundo a lei de resfriamento de Newton, utilizando o sistema Arduíno.

Revisão Bibliográfica:

         Segundo a Rev. Bras. Ensino Fís. 2003, no estudo de termodinâmica, um conceito útil para quantificar uma certa quantidade de calor transferida a um sistema é o conceito de calor específico, que é a quantidade de calor que deve ser transferida a 1g de uma substância para que a sua temperatura seja elevada em 1⁰C. Conforme se sabe, essa quantidade de calor varia de substância para substância e, então, o calor específico é um parâmetro que caracteriza uma dada substância.

          Em física, transferência, transmissão ou propagação de calor, algumas vezes citada como propagação ou transferência térmica, é a transição de energia térmica de uma massa (corpo) mais quente para uma massa mais fria. Em outras palavras, é a troca de energia calorífica entre dois sistemas de temperaturas diferentes.

          Segundo os autores CAMPOS, A. A.; ALVES, E. S. e SPEZIALI, N. L. a lei de Newton do resfriamento, estabelece que "a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e seus arredores.". Para um sólido em contato térmico com um fluido, a taxa de resfriamento é dada pela equação 01:

                                          (01)

em que T é a diferença entre a temperatura da superfície do sólido e do fluido. A constante K depende de fatores como, a forma da superfície, o fluido ser líquido ou gás, da densidade, calor específico e condutividade térmica do fluido, entre outros.
Sendo T a diferença de temperatura entre o objeto e a vizinhança no instante inicial t = 0, mostra que, após um tempo t, a diferença de temperatura T entre eles é (equação 02):

                        (02)

em que T é a temperatura do objeto Ta é a temperatura do ambiente em torno dele.

Metodologia:

Materiais Utilizados:
- 2 Sensores de temperatura: montado com 2 termistores de 10kΩ

- fios diversos
- 2 resistor de 330Ω

- 1 placa Arduíno UNO

- 1 amplificador operacional LM358P

         Foi elaborado um experimento para medir a variação da temperatura seguindo o conceito da lei de Newton de resfriamento. Para isso foi utilizado um sensor de temperatura, conforme Figura 2, no qual um termistor foi colocado num copo com água a aproximadamente 50 °C e o outro foi deixado à temperatura ambiente. O termistor fez parte de um sistema de sinal condicionado por amplificador operacional conectado a um sistema Arduíno UNO. A Figura 3 mostra o esquema de ligação dos dois termistores visando a aquisição de dados baseado no Arduíno UNO. No esquema An. 1 e An.2 correspondem, respectivamente, à porta analógica A0 e A1. O circuito integrado LM358P é um amplificador operacional que foi utilizado para condicionar o sinal. Foram utilizados dois resistores de 330Ω, um para cada termistor. Th 1  e Th2 correspondem, respectivamente, aos termistores 1 e 2, ambos de 10 kΩ. T representa a ligação terra (GND) do Arduíno.
          O programa Arduíno(Apêndice A) fez as leituras que foram copiadas e coladas no Microsoft Excel. Neste, foi elaborado um gráfico de dispersão mostrando a diferença de temperatura conforme o sistema entrava em equilíbrio térmico(Figura 4).

       Foi utilizado o software Arduíno 0023 para escrever o código da sequência, conforme a Figura 1.

Figura 1 - Imagem, da IDE do programa Arduíno, representando o código da sequência utilizada no experimento de verificação da variação da temperatura segundo a lei de resfriamento de Newton.

Fonte: Os Autores.

Figura 2 – Foto do arranjo sensor de temperatura que montado com dois termistores 10k e fio comum. O sensor de imersão em água foi protegido com plástico termosensível.

Fonte: Autores.

Figura 3 – Esquema de ligação dos dois termistores visando a aquisição de dados baseado no Arduíno UNO.

Fonte: Os autores. Adaptado de  ExpressPCB.

Dados Obtidos e discussão:

          Foram realizadas 2571 medidas, de 5 em 5 segundos.

         O gráfico da Figura 4 apresenta as curvas que representam os dados de temperatura do calorímetro, do ambiente, da diferença de temperatura entre o calorímetro e o ambiente e da curva ajustada, pelo método dos mínimos quadrados. Apresenta também a equação de ajuste exponencial.
          A equação y = 24,73249 e^(-0,00119x) está de acordo com a equação 02, a equação de resfriamento de Newton. O coeficiente de determinação, do ajuste, é de 97,2%. Isso indica um ótimo ajuste. A partir dessa equação é possível determinar para um determinado instante (x), a temperatura do sistema (y - calorímetro)

Conclusões:
- O sistemas Arduíno de aquisição de dados cumpriu satisfatoriamente a tarefa de adquirir dados de temperatura com sensores do tipo termistor.
- Os dados experimentais comprovaram satisfatoriamente a equação de resfriamento de Newton, conforme visto na equação ajustada, pelo método dos mínimos quadrados realizada no Microsoft Excel 2007.

Figura 4 - Curvas de temperatura do calorímetro, do ambiente, da diferença entre a temperatura do calorímetro e do ambiente e da curva de ajuste exponencial.

Bibliografia:

•  CAMPOS, A. A.; ALVES, E. S. e SPEZIALI, N. L. Física Experimental Básica na Universidade. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2007.

• WIKIPÉDIA. Propagação térmica. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Propaga%C3%A7%C3%A3o_t%C3%A9rmica#
  Lei_de_Newton_do_resfriamento>. Acesso em: 16 agosto.2013

• SILVA, W. P.; PRECKER, J. W.; Cleide M. D. P. S. e Silva; Diogo D. P. S. e Silva; Cleiton D. P. S. e Silva. Medida de calor específico e lei de resfriamento de Newton: um refinamento na análise dos dados experimentais. Rev. Bras. Ensino Fís. vol.25 n.4 São Paulo, 2003. Disponível em: < http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1806-11172003000400010&script=sci_arttext>. Acesso em: 16 agosto.2013

• IF. UFRGS. Dedução da Fórmula de Resfriamento de Newton. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20011/Adriano/intro.html>. Acesso em: 16 agosto.2013

Energia Mecânica

          Revisão Bibliográfica:

            Segundo Ferraro e Soares,  1991, associamos energia a movimento. Um corpo em movimento possui energia, tal energia é denominada energia cinética. Mesmo estando em repouso, um corpo pode possuir energia apenas em função da posição que ele ocupa e denominamos essa energia de energia potencial gravitacional. Cada forma de energia relaciona-se com a realização de trabalho. É possível dizer, então, que o trabalho é uma medida de energia transferida ou transformada , portanto, a unidade de energia é a mesma de trabalho: o joule ( J), no SI.

            Princípio da Conservação da Energia Mecânica:

            Entre os tipos de energia há uma constante transformação. Num corpo que cai, numa mola comprimida, há conversão de energia potencial em energia cinética. Na transformação energética não há criação ou destruição de energia. Há somente uma mudança no estado de manifestar-se, então, o total de energia existente antes da transformação é igual ao total de energia obtido após a transformação.

            Desprezando-se as forças dissipativas, como atritos e resistência do ar, um corpo, durante seu movimento, temos a figura 1:

            Energia Cinética (Ec):

            Segundo Kahuzito, Fuke e Carlos, 1993, para que um corpo esteja em movimento em relação a um dado referencial é preciso que haja uma forma de energia denominada energia cinética. Sendo m a massa do corpo e v a velocidade num dado instante, a energia cinética é dada pela seguinte expressão:

            Observe que, a energia cinética de um corpo de massa m varia na razão direta do quadrado de sua velocidade.

            Energia Potencial Gravitacional (Epg):

            Segundo Ferraro e Soares, 1991, a energia associada a um corpo em função de sua posição é denominada energia potencial (Ep). Essa energia está relacionada a trabalhos que independem da trajetória descrita, como o da força peso (Ƭ = m.g.h).

            A energia associada à sua posição em relação à Terra, ainda não transformada na forma útil, denominamos energia potencial gravitacional, que, é medida pelo trabalho realizado pelo peso, na qual temos a expressão:

            É importante acentuar que a energia potencial gravitacional depende do nível de referência a partir do qual é medida a altura h.

           

            Atrito

            Segundo Kahuzito, Fuke e Carlos, 1993, as superfícies dos corpos, por mais polidas que possam parecer, apresentam rugosidades quando analisada microscopicamente. Em consequência, se duas superfícies em contato, que se comprimem, apresentam tendência a moverem-se uma em relação a outra, surge então a Força de Atrito (Fat).

            Enquanto as superfícies não entram em movimento relativo, o atrito é estático. Quando deixam o estado de repouso relativo, o atrito passa a ser dinâmico ou cinético.

            A força de atrito é uma força tangencial à trajetória e tem sempre o sentido oposto ao movimento (ou à tendência de movimento).

            Segundo Ferraro, Soares e Ramalho, 2002, quando há movimento, demonstra-se que a intensidade da força de atrito, dentro de uma boa aproximação, é proporcional à intensidade da força normal:

onde µ é uma constante de proporcionalidade denominada Coeficiente de atrito, neste caso, dinâmico.

            A força normal é uma força de reação que a superfície faz em um corpo que esteja em contato com esta, essa força é normal à superfície. Um corpo qualquer ao entrar em contato com a superfície de outro e a comprimi-la aplicará uma força nessa superfície e de acordo com a 3ª Lei de Newton haverá um reação que é exatamente a força normal.

            A força de atrito tem intensidade igual à da força solicitador F enquanto não houver movimento. Se F continuar crescendo, a força de atrito tende a crescer até atingir seu valor máximo e o corpo ficará na iminência de movimento.

Então, a máxima intensidade da força de atrito estático, e que corresponde à iminência de movimento, é dada por:

onde µ é uma constante de proporcionalidade chamada Coeficiente de atrito, neste caso, estático.

           

            Força de Resistência do Ar

            Analisando-se, especificamente, a força de resistência do ar (Rar) oferecida contra corpos em movimento, conclui-se experimentalmente que sua intensidade é proporcional ao quadrado da velocidade do corpo, temos então:

onde C = constante de proporcionalidade, que depende da forma do corpo e da maior área da seção transversal do corpo perpendicular à direção do movimento.

Bibliografia:
- FERRARO, N. G. e SOARES, P. A. de T. Aulas de física 1: mecânica. 17.ed. São Paulo: Atual, 1991.

- RAMALHO, F. J.; FERRARO, N. G. e SOARES, P. A. de T. Os Fundamentos da Física 1: mecânica. 7.ed. São Paulo: Moderna, 1999.

- YAKAMOTO, K. FUKE, L. F. e SHIGEKIYO, C. T. Os Alicerces da Física: mecânica. 6.ed. São Paulo: Saraiva, 1993.