Movimento Harmônico Simples Amortecido

Objetivos:          
          Verificar o comportamento de um pêndulo simples em movimento harmônico simples amortecido com aquisição de dados utilizando sensor ultrassônico acoplado em placa Arduíno.

Revisão Bibliográfica:

Movimento Harmônico Simples

Segundo Newton, Helou e Gualter, 1993, um movimento é periódico quando a posição, a velocidade e a aceleração do móvel repetem-se em iguais intervalos de tempo. O intervalo de tempo necessário para ocorrer uma repetição do movimento é denominado período do movimento, que se simboliza por t. Assim, se ocorrerem n repetições do movimento num intervalo de tempo ∆t, seu período será conforme a equação 1:

            O período pode ser medido em qualquer unidade de tempo. No SI, sua unidade é o segundo (símbolo: s).

             Denomina-se frequência (f) de um movimento periódico o número de vezes que esse movimento repete-se na unidade de tempo. Assim, ocorrendo n repetições do movimento no intervalo de tempo ∆t, sua frequência denomina-se pela equação 2:

   

                Comparando as equações 1 e 2, temos:

     

            A unidade de frequência, no SI, é o hertz (Hz). A frequência de 1 Hz significa que o movimento repete-se uma vez por segundo.

          Um movimento é oscilatório quando ocorre com alternâncias de sentido, porém na mesma trajetória para os dois sentidos. É o caso, por exemplo, do movimento do pêndulo de um relógio de parede.

       Certos movimentos oscilatórios e periódicos, descritos por funções horárias harmônicas, são denominados movimentos harmônicos simples (MHS). O estudo desses movimentos simplifica-se ao partirmos do movimento circular uniforme (MCU). Para isso, consideremos uma partícula em movimento circular uniforme numa circunferência de raio A.

            Faz-se a projeção do MCU sobre o eixo Ox, que é paralelo ao diâmetro P – P’ e está contido no plano da circunferência, conforme a figura 1:

Figura 1 – Imagem da projeção do movimento circular uniforme.

(Retirado de: http://pt.scribd.com/doc/121334679/MHS) 

                Com isso, observamos que enquanto a partícula em MCU desloca-se do ponto P até o ponto P’, sua projeção se desloca do ponto da abscissa X = A, até o ponto de abscissa X = - A, e enquanto a partícula em MCU desloca-se de P’ até P, a projeção desloca-se de X = - A até X = A.

            Observa-se que esse movimento retilíneo da projeção é periódico e oscilatório. Além disso, o período do movimento da projeção é igual ao período do movimento circular uniforme. O movimento da projeção do MCU sobre o eixo Ox é um movimento harmônico simples MHS. 

              No MHS, a abscissa (espaço) X é medida a partir do ponto médio da trajetória e denomina-se elongação. Observa-se, então, que no ponto médio da trajetória temos X = 0 (elongação nula) e nos pontos extremos da trajetória temos X = - A (elongação mínima) e X = A (elongação máxima). A grandeza A, que corresponde ao raio da circunferência e é também a elongação máxima do MHS, denomina-se amplitude do MHS.

Movimento Harmônico Simples Amortecido

De acordo com Halliday e Resnick, 2009, quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa dizemos que o oscilador e seu movimento são amortecidos. A constante de amortecimento depende das características, tanto do pêndulo quanto do meio em que se encontra oscilando.        
        Podemos considerar uma função cosseno cuja amplitude diminui gradualmente com o tempo, conforme a figura (2). Para um oscilador amortecido sua energia mecânica não é constante e diminui com o tempo, assim como a amplitude que diminui exponencialmente, vindo o movimento, eventualmente, a cessar. Dizemos, então, que há um amortecimento da oscilação.

Figura 2 - Função deslocamento x(t) do oscilador amortecido. A amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

Metodologia e dados obtidos:

Materiais Utilizados:
- 1 suporte para o pêndulo
- 1 esfera
- 1 sensor ultrassônico (modelo HC-SR04)
- 1 placa arduíno UNO

           Foi elaborado um experimento para estudar o movimento harmônico simples amortecido, no qual, um movimento oscilatório e periódico ocorre demonstrando que em uma determinada trajetória, o corpo oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio. Para isso foi utilizado, como base para a experiência, um pêndulo, constituído por um fio de nylon e uma esfera de isopor, preso a um suporte. o O comprimento do pêndulo utilizado foi de 47 cm (figura 3). A esfera do pêndulo foi preparada em uma posição X (ponto mais extremo) e solta. O sensor foi, então, ativado para captar o movimento da esfera, via placa Arduíno. O Arduíno foi programado conforme o código da sequência, demonstrado na figura 4. Esse fez as leituras que foram copiadas e coladas na planilha eletrônica Microsoft Excel e nesse foi elaborado um gráfico de dispersão mostrando a relação entre o tempo e a posição em que o pêndulo se encontrava (figura 5).

Figura 3 – Esquema do pêndulo.

                

               Conforme a Lei de Hooke, podemos calcular a frequência (f), em que t = 1/f onde t é o período de tempo do movimento do pêndulo, apresentada na equação 4:

    

                                                                      

               Sabendo que a frequência é igual a (ω= 2 π), então tem-se a equação 5:

           

            Observa-se que o comprimento é a variável da equação, porque o período e a gravidade são constantes. Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isocronômetro, isto é, o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento.

Figura 4 – Código da sequência do Arduíno UNO utilizado no experimento.

           Através da equação 5 sabe-se que o período do pêndulo estudado é de 1,36s.
         Como mostra a figura 5, o movimento é considerado amortecido, pois a amplitude da onda diminui constantemente com o tempo. Verifica-se também, graficamente, que o período é constante, ou seja, apesar da amplitude ir diminuindo constantemente com o tempo, o período de cada oscilação mantém-se constante, em média.

          O gráfico da figura 5 mostra apenas uma pequena fração de tempo do experimento todo. É o período de tempo em que a medição estava estabilizada, pois o sistema instabiliza-se facilmente, fazendo leituras imprecisas. Essa é uma dificuldade na utilização do sistema Arduíno. No entanto, para esse período, a leitura foi muito boa, conforme pode-se verificar na figura 5.

Figura 5 – Gráfico de dispersão da relação entre a posição do pêndulo com o tempo.

            

            Conclusões:

Verificou-se, através do experimento, que as forças de atrito (arrasto do ar) diminuíram constantemente a amplitude do movimento, reduzindo-a a zero após certo tempo. Conclui-se também que, a utilização do sensor ultrassônico e o sistema Arduíno cumpriram satisfatoriamente a função de coleta de dados para fins didáticos. Neste experimento foi possível, verificar claramente o comportamento de um pêndulo amortecido. 

Referências:
BÔAS, N. V.; DOCA, R. H. e BISCUOLA, G. J. Tópicos de Física 2 – Termologia, Ondas e Óptica. Ed.10 – Editora Saraiva, 1993.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R. e WALKER, J. Fundamentos da Física - Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Ed. 8. Vol.2 - Rio de Janeiro: LTC, 2009.